如图,Rt△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于点E,M为AE的中点,BF⊥...
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如图,Rt△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于点E,M为AE的中点,BF⊥BC交CM的延长线于点F,BD=4,CD=3.下列结论:①∠AED=∠ADC;②BE=DE;③AC﹣BE=12;④3BF=4AC;⑤=.其中正确结论的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
D
【考点】相似三角形的判定与*质;全等三角形的判定与*质.
【分析】利用相似三角形的判定方法逐一分析:
由∠AED=90°﹣∠EAD,∠ADC=90°﹣∠DAC,∠EAD=∠DAC判定①;
②BE=DE成立.可知BM:MA=BF:AC=2:1,而BD:DC=2:1,可知DM∥AC,DM⊥BC,利用直角三角形斜边上的中线的*质判断.
易*△ADE∽△ACD,得DE:DA=DC:AC=1:AC,进而得出AC的长,即可得出④*;
连接DM,可*DM∥BF∥AC,得FM:MC=BD:DC=4:3;易*△FMB∽△CMA,得比例线段求解得出③;
BE=DE成立.由④可知BM:MA=BF:AC=2:1,而BD:DC=2:1,可知DM∥AC,DM⊥BC,利用直角三角形斜边上的中线的*质判断⑤.
【解答】解:∵∠AED=90°﹣∠EAD,∠ADC=90°﹣∠DAC,∠EAD=∠DAC,
∴∠AED=∠ADC.
故①正确;
∵AD平分∠BAC,
∴==,
∴设AB=4x,则AC=3x,
在直角△ABC中,AC2+BC2=AB2,则(3x)2+49=(4x)2,
解得:x=,
∵∠EAD=∠DAC,∠ADE=∠ACD=90°,
∴△ADE∽△ACD,得DE:DA=DC:AC=3:,故⑤不正确;
∵∠AED=∠ADC,
∴∠BED=∠BDA,
又∵∠DBE=∠ABD,
∴△BED∽△BDA,
∴DE:DA=BE:BD,
∵DE:DA=DC:AC,
∴BE:BD=DC:AC,
∴AC•BE=BD•DC=12.
故③正确;
连接DM,
在Rt△ADE中,MD为斜边AE的中线,
则DM=MA.
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC,
∴DM∥BF∥AC,
由DM∥BF得FM:MC=BD:DC=4:3;
由BF∥AC得△FMB∽△CMA,有BF:AC=FM:MC=4:3,
∴3BF=4AC.
故④正确.
∵BM:MA=BF:AC=2:1,
∵BD:DC=2:1,
∴DM∥AC,DM⊥BC,
∴∠MDA=∠DAC=∠DAM,而∠ADE=90°,
∴DM=MA=ME,在Rt△BDM中,由BM=2AM可知BE=EM,
∴ED=BE.故②正确.
综上所述,①③④⑤正确,共有4个.
故选:D.
【点评】此题考查三角形相似的判定与*质,掌握相似三角形的判断方法与*质运用是解决问题的关键.
知识点:相似三角形
题型:选择题
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