如图,已知A、B两点的坐标分别为(﹣2,0)、(0,1),⊙C的圆心坐标为(0,﹣1),半径为1,E是⊙C上的...
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如图,已知A、B两点的坐标分别为(﹣2,0)、(0,1),⊙C的圆心坐标为(0,﹣1),半径为1,E是⊙C上的一动点,则△ABE面积的最大值为( )
A.2+ B.3+ C.3+ D.4+
【回答】
A【考点】圆的综合题.
【分析】先判断出点E的位置,点E在过点C垂直于AC的直线和圆C在点C下方的交点,然后求出直线AB解析式,进而得出CD解析式,即可得出点D坐标,再求出CD,进而得出DE,再用三角形的面积公式即可得出结论.
【解答】解:如图,过点C作CD⊥AB,延长DC交⊙C于E,此时△ABE面积的最大值,
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵A(﹣2,0),B(0,1),
∴,
∴,
∴直线AB的解析式为y=x+1①,
∵CD⊥AB,C(0,﹣1),
∴直线CD的解析式为y=﹣2x﹣1②,
联立①②得,D(﹣,),
∵C(0,﹣1),
∴CD==,
∵⊙C的半径为1,
∴DE=CD+CE=+1,
∵A(﹣2,0),B(0,1),
∴AB=,
∴S△ABE面积的最大值=AB•DE=(+1)×=2+,
故选A.
【点评】此题是圆的综合题,主要考查了圆的*质,待定系数法,求两条直线的交点的方法,三角形的面积公式,解本题的关键是判断出点E的位置,是一道中等难度的试题.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:选择题
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