已知函数.(1)求*:在(1,+∞)上单调递增.(2)若≥-在x∈(0,1]内恒成立,求实数t的取值范围.

问题详情：

已知函数.

(1)求*: 在(1,+∞)上单调递增.

(2)若≥-在x∈(0,1]内恒成立,求实数t的取值范围.

【回答】

 (1)函数的定义域为(0,+∞),f ′(x)=2x-=,

由f ′(x)>0,得x>1,由f ′(x)<0,得0<x<1,

所以,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.

(2)由f(x)≥2tx-对x∈(0,1]恒成立,得2t≤x+-.

令h(x)=x+-,则h′(x)=,

因为x∈(0,1],所以x4-3<0,-2x2<0,

2x2lnx<0,x4>0,

所以h′(x)<0,

所以h(x)在(0,1)上为减函数.

所以当x=1时,h(x)=x+-有最小值2,得2t≤2,

所以t≤1,故t的取值范围是(-∞,1].

知识点：导数及其应用

题型：解答题