观察以下一系列等式：①1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2；②2×3×4×5+1=112=（22+...

问题详情：

观察以下一系列等式：

①1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2；

②2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2；

③3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2；

④4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2；…

（1）请用字母表示上面所发现的规律：_____________________________ _；

（2）利用你学过的方法，*你所发现的规律．

【回答】

见解析

【解析】分析：观察可知，每个等式的两边有规律，中间规律不好找．最左边是连续4个自然数的积与1的和；最右边是括号外面都有平方，不变数3和1，还有纵看是自然数的平方．问题可求．

详解：（1）令左边第一个数字为n，则依次为：n，（n+1），（n+2），（n+3）；

    右边为：（n2+3n+1）2；∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2．

    （2）*：令左边第一个数字为n，则依次为：n，（n+1），（n+2），（n+3）；

    ∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1

= [n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1

=（n2+3n）（n2+3n+2）+1

=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1

=（n2+3n+1）2．

    故有n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2成立．

点睛：本题找规律时，要善于发现其中的变与不变的数，横看纵看，结合与自然数的关系去寻找*．

知识点：乘法公式

题型：解答题