如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22﹣02,12=42﹣22...
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如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20都是“神秘数”
(1)28和2012这两个数是“神秘数”吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗?为什么?
【回答】
(1)28和2012是神秘数(2)是4的倍数(3)8k不能整除8k+4
【分析】
(1)根据“神秘数”的定义,设这两个连续偶数分别为2m,2m+2,列方程求出m的值即可得*;(2)根据“神秘数”的定义可知(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1),即可得*;(3)由(2)可知“神秘数”是4的倍数,但一定不是8的倍数,而连续两个奇数的平方差一定是8的倍数,即可得*.
【详解】
(1)设设这两个连续偶数分别为2m,2m+2,则根据题意得:
(2m+2)2-(2m)2=28,
8m+4=28,
m=3,
∴2m=6,2m+2=8,即82-62=28,
∴28是“神秘数”.
(2m+2)2-(2m)2=2012,
8m+4=2012,
m=501,
∴2m=1002
∴2012是“神秘数”.
(2)是;理由如下:
∵(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1),
∴由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.
(3)由(2)可知“神秘数”可表示为4(2n-1),
∵2n-1是奇数,
∴4(2n-1)是4的倍数,但一定不是8的倍数,
设两个连续的奇数为2n-1和2n+1,
则(2n+1)2-(2n-1)2=8n.
∴连续两个奇数的平方差是8的倍数,
∴连续两个奇数的平方差不是“神秘数”.
【点睛】
本题首先考查了阅读能力、探究推理能力.对知识点的考查,主要是平方差公式的灵活应用
知识点:乘法公式
题型:解答题
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