(2018•重庆)对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“...
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(2018•重庆)对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.
(1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;
(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数.若四位数m为“极数”,记D(m)=,求满足D(m)是完全平方数的所有m.
【回答】
解析:(1)根据“极数”的意义得,1287,2376,8712,
任意一个“极数”都是99的倍数,
理由:设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x,十位数字为y,(x是0到9的整数,y是0到8的整数)
∴百位数字为(9﹣x),千位数字为(9﹣y),
∴四位数n为:1000(9﹣y)+100(9﹣x)+10y+x=9900﹣990y﹣99x=99(100﹣10y﹣x),
∵x是0到9的整数,y是0到8的整数,
∴100﹣10y﹣x是整数,
∴99(100﹣10y﹣x)是99的倍数,
即:任意一个“极数”都是99的倍数;
(2)设四位数m为“极数”的个位数字为x,十位数字为y,(x是0到9的整数,y是0到8的整数)
∴m=99(100﹣10y﹣x),
∵m是四位数,
∴m=99(100﹣10y﹣x)是四位数,
即1000≤99(100﹣10y﹣x)<10000,
∵D(m)==3(100﹣10y﹣x),
∴30≤3(100﹣10y﹣x)≤303
∵D(m)完全平方数,
∴3(100﹣10y﹣x)既是3的倍数也是完全平方数,
∴3(100﹣10y﹣x)只有36,81,144,225这四种可能,
∴D(m)是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425.
知识点:乘法公式
题型:解答题
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