已知球的半径为,则它的外切圆锥体积的最小值为
问题详情:
已知球的半径为,则它的外切圆锥体积的最小值为__________.
【回答】
【分析】
设出圆锥的高为,底面半径为,在截面中,由球与圆锥相切可设出底面和母线SB的切点分别为C和D,接着由三角形的相似求得、、三者间的关系,然后将圆锥的体积表示成关于的函数,利用导函数求最值.
【详解】
设圆锥的高为,底面半径为,
在截面图中,,,,
根据圆锥与球相切可知,、均为球与外切圆锥的切点,
则
又,,
,即,
,
圆锥体积为,
,
令可得,则
时,;时,,
在单调递减,在单调递增,
则.
故*为:.
【点睛】
本题考查了球的外切问题,圆锥的体积公式,导函数的实际应用问题,难度较大.
知识点:导数及其应用
题型:填空题
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