已知三棱锥四个顶点均在半径为R的球面上,且,若该三棱锥体积的最大值为1,则这个球的表面积为A. ...
问题详情:
已知三棱锥四个顶点均在半径为R的球面上,且,若该三棱锥体积的最大值为1,则这个球的表面积为
A. B. C. D.
【回答】
D
【解析】
分析:因为三棱锥的体积有最大值且为确定的三角形,故球心在三棱锥的内部且球心到平面的距离是定值.要使得体积最大,只要到平面的距离最大即可,此时与球心的连线垂直平面且经过外心,根据这个*质可以得到外接球的半径.
详解:为等腰直角三角形,三棱锥体积最大时,球心在过的中点且垂直于平面的直线上,为该直线与球面的交点,此时高,
故体积,解得,
故.选D.
点睛:为了求得外接球的内接三棱锥的体积的最大值,我们需选择合适的变量构建体积的函数关系式,因本题中三棱锥的底面三角形确定,顶点在球面上变化,故高最大时体积最大.
知识点:球面上的几何
题型:选择题
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