如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△AB...
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如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△ABC不动,△DEF运动,并满足:点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE、始终经过点A,EF与AC交于M点.
(1)求*:△ABE∽△ECM;
(2)探究:在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
(3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积.
【回答】
考点:相似三角形的判定与*质;二次函数的最值;全等三角形的判定与*质;勾股定理。
解答:(1)*:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠AEF=∠B,
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠CEM=∠BAE,
∴△ABE∽△ECM;
(2)解:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,
∴∠AME>∠AEF,
∴AE≠AM;
当AE=EM时,则△ABE≌△ECM,
∴CE=AB=5,
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1,
当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA,
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,
即∠CAB=∠CEA,
又∵∠C=∠C,
∴△CAE∽△CBA,
∴,
∴CE=,
∴BE=6﹣=;
(3)解:设BE=x,
又∵△ABE∽△ECM,
∴,
即:,
∴CM=﹣+x=﹣(x﹣3)2+,
∴AM=﹣5﹣CM═(x﹣3)2+,
∴当x=3时,AM最短为,
又∵当BE=x=3=BC时,
∴点E为BC的中点,
∴AE⊥BC,
∴AE==4,
此时,EF⊥AC,
∴EM==,
S△AEM=.
知识点:相似三角形
题型:综合题
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