如图所示的轨道由半径为R的1/4光滑圆弧轨道AB、竖直台阶BC、足够长的光滑水平直轨道CD组成。小车的质量为M...
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如图所示的轨道由半径为R的1/4光滑圆弧轨道AB、竖直台阶BC、足够长的光滑水平直轨道CD组成。小车的质量为M,紧靠台阶BC且上表面水平与B点等高。一质量为m的可视为质点的滑块自圆弧顶端A点由静止下滑,滑过圆弧的最低点B之后滑到小车上。已知M=4m,小车的上表面的右侧固定一根轻*簧,*簧的自由端在Q点,小车的上表面左端点P与Q点之间是粗糙的,滑块与PQ之间表面的动摩擦因数为μ,Q点右侧表面是光滑的。求:
(1)滑块滑到B点的瞬间对圆弧轨道的压力大小。
(2)要使滑块既能挤压*簧,又最终没有滑离小车,则小车上PQ之间的距离L应在什么范围内?(滑块与*簧的相互作用始终在*簧的**范围内)
【回答】
(1)设滑块滑到B点的速度大小为v,到B点时轨道对滑块的支持力为N,由机械能守恒定律有: mgR=mv2①
滑块滑到B点时,由牛顿第二定律有: N-mg=m②
联立①②式解得:N=3mg③
根据牛顿第三定律,滑块在B点对轨道的压力大小为 N′=3mg.
(2)滑块最终没有离开小车,滑块和小车必然具有共同的末速度设为u,滑块与小车组成的系统动量守恒,有 mv=(M+m)u④
若小车PQ之间的距离L足够大,则滑块可能不与*簧接触就已经与小车相对静止,设滑块恰好滑到Q点,由功能关系得 μmgL=mv2-(M+m)u2⑤
联立①④⑤式解得:L=⑥
若小车PQ之间的距离L不是很大,则滑块必然挤压*簧,由于Q点右侧是光滑的,滑块必然被*回到PQ之间,设滑块恰好回到小车的左端P点处,由功能关系得
2μmgL=mv2-(M+m)u2⑦
联立①④⑦式解得:L=⑧
综上所述并由⑥⑧式可知,要使滑块既能挤压*簧,又最终没有离开小车,PQ之间的距离L应满足的范围是:≤L≤.
(1)3mg (2) ≤L≤
知识点:专题四 功和能
题型:综合题
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