如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2A...

问题详情：

如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO.

(1)求*：平面PBD⊥平面COD；

(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值.

【回答】

(1)*　∵OB＝OC，又∵∠ABC＝，

∴∠OCB＝，∴∠BOC＝.

∴CO⊥AB.2分

又PO⊥平面ABC，

OC⊂平面ABC，∴PO⊥OC.

又∵PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB＝O，

∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PDB.4分

又CO⊂平面COD，

∴平面PDB⊥平面COD.6分

(2)解　以OC，OB，OP所在*线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

设OA＝1，则PO＝OB＝OC＝2，DA＝1.

则C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)，

∴＝(0，－1，－1)，＝(2，－2，0)，＝(0，－3，1).8分

设平面BDC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

∴∴

令y＝1，则x＝1，z＝3，∴n＝(1，1，3).10分

设PD与平面BDC所成的角为θ，

则sin θ＝

＝＝.

即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为.12分

例4　

知识点：空间中的向量与立体几何

题型：解答题