已知三棱锥的所有棱长都是，四个顶点、、、都在球的球面上，记球的表面积是，过棱的平面被球截得的截面面积的最小值为...

问题详情：

已知三棱锥的所有棱长都是，四个顶点、、、都在球的球面上，记球的表面积是，过棱的平面被球截得的截面面积的最小值为，则的值为__________.

【回答】

【分析】

求出三棱锥的外接球的半径，可求出的值，结合球的几何*质可知，当为截面圆的直径时，过棱的平面被球截得的截面面积最小，可求得的值，由此可求得的值.

【详解】

由题意知，三棱锥是正三棱锥，取的中点，连接，如图所示：

设点在底面内的投影是，球的半径为，

由于是边长为的等边三角形，则，

，，

所以，解得，

所以球的表面积是.

易知当棱是截面圆的直径时，过棱的平面被球截得的截面面积取最小值，所以.

故*为：.

【点睛】

本题考查正三棱锥的外接球表面积的计算，同时也考查了球的截面圆面积的计算，考查计算能力，属于中等题.

知识点：空间几何体

题型：填空题