已知数列{an},如果数列{bn}满足b1=a1,bn=an+an-1,n≥2,n∈N*,则称数列{bn}是数...
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已知数列{an},如果数列{bn}满足b1=a1,bn=an+an-1,n≥2,n∈N*,则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列”.
(1)若数列{an}的通项为an=n,写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}的通项为cn=2n+b(其中b是常数),试问数列{cn}的“生成数列”{qn}是否是等差数列,请说明理由;
(3)已知数列{dn}的通项为dn=2n+n,求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前n项和Tn.
【回答】
解:(1)当n≥2时,bn=an+an-1=2n-1,
当n=1时,b1=a1=1适合上式,
∴bn=2n-1(n∈N*).
(2)qn=
当b=0时,qn=4n-2,由于qn+1-qn=4,
所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列.
当b≠0时,由于q1=c1=2+b,q2=6+2b,
q3=10+2b,此时q2-q1≠q3-q2,
所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列.
(3)pn=
当n>1时,Tn=3+(3·2+3)+(3·22+5)+…+(3·2n-1+2n-1),
∴Tn=3+3(2+22+23+…+2n-1)+(3+5+7+…+2n-1)=3·2n+n2-4.
又n=1时,T1=3,适合上式,∴Tn=3·2n+n2-4.
知识点:数列
题型:解答题
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