设数列{an}满足:a1=5,an+1+4an=5(n∈N*).(1)是否存在实数t,使{an+t}是等比数列...
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设数列{an}满足:a1=5,an+1+4an=5(n∈N*).
(1)是否存在实数t,使{an+t}是等比数列?
(2)设bn=|an|,求{bn}的前2 013项的和S2 013.
【回答】
解:(1)由an+1+4an=5,得an+1=-4an+5.
令an+1+t=-4(an+t),得an+1=-4an-5t,
所以-5t=5,所以t=-1.
从而an+1-1=-4(an-1).
又因为a1-1=4,
所以an-1≠0.
所以{an-1}是首项为4,公比为-4的等比数列.
所以存在实数t=-1,使{an+t}是等比数列.
(2)由(1)得an-1=4×(-4)n-1⇒an=1-(-4)n.
所以bn=|an|=
所以S2 013=b1+b2+…+b2 013
=(1+41)+(42-1)+(1+43)+(44-1)+…+(1+42 013)
=41+42+43+…+42 013+1
知识点:数列
题型:解答题
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