已知数列,,其中为等差数列,且满足,,,.(1)求数列,的通项公式;(2)设,求*:.
问题详情:
已知数列,,其中为等差数列,且满足,,,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,求*:.
【回答】
(1);;(2)*见解析.
【分析】
(1)由已知易得,将已知递推关系,利用累加法得到;
(2)法一:利用指数的运算法则化简,并裂项得到,相加消项求和后,利用不等式的基本*质即可*得;法二:验*时结论成立,时,利用数学归纳法*即可.
【详解】
解(1)当,时,,
已知,,解得,公差,.
因此,
,
累加得;
(2)法一:
,
.
法二:因为时,,成立,时,成立.
下面用数学归纳法*时不等式成立.
(1)当时,成立.
(2)假设时,成立,
那么时,.
要*成立,
只要*成立,
只要*,
只要*,显然成立,
所以,当时,不等式成立.
根据(1)(2)不等式对任意,成立.
所以对任意,不等式成立.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式,数列递推关系的变形和累加法求数列的通项公式,关于数列的和的不等式的*问题,可以利用指数运算进行裂项求和问题后不等式的基本*质*,也可使用数学归纳法郑明.
知识点:数列
题型:解答题
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