如图所示：与的边相切于点C，与、分别交于点D、E，．是的直径．连接，过C作交于G，连接、，与交于点F．（1）求...

问题详情：

如图所示：与的边相切于点C，与、分别交于点D、E，．是的直径．连接，过C作交于G，连接、，与交于点F．

（1）求*：直线与相切；

（2）求*：；

（3）若时，过A作交于M、N两点（M在线段上），求的长．

【回答】

(1)详见解析;(2)详见解析;(3) 10+．

【解析】

(1)由两组平行条件推出∠DEO=∠BOE,即可利用SAS*△BOE≌△BOC,进而推出AB是圆的切线;

(2)将DG与OE的交点作为H,根据直角的*质得出AE//DF,可得△AEC∽△DFC,得出,再根据圆周角定理求出∠ECD=∠EDF,再由一组公共角可得△FED∽△DEC,得出,进而推出,即;

(3)先根据题意算出EC,再根据勾股定理得出直径CD,从而得出半径,再利用(2)中的比例条件将AC算出来,延长BO到I,连接ON,根据垂径定理可得OI垂直AN,即可利用勾股定理分别求出AI和IN,即可得出AN．

【详解】(1)∵DE//OB，∴∠BOC=∠EDC，

∵CG//OE，∴∠DEO=∠BOE，

又∵∠DEO=∠EDC，∴∠DEO=∠BOE，

由题意得：EO=CO，BO=BO，

∴△BOE≌△BOC(SAS),

∴∠BEO=∠BCO=90°,

∴AB是⊙O的切线．

(2)

如图所示DG与OE交点作为H点,

∵EO//GC,

∴∠EHD=∠DGC=90°,

又由(1)所知∠AEO=90°,

∴AE//DF,

∴△AEC∽△DFC,

∴,

由圆周角定理可知∠EDG=∠ECG,∠EOD=2∠ECD,

∵DO//GC,

∴∠EOD=∠GCD=∠GCE+∠ECD,

∴∠ECD=∠GCE=∠EDF,

又∵∠FED=∠DEC,

∴△FED∽△DEC,

∴,

∴,即．

(3)

∵,与∠ACE相等角的tan值都相同．

∴ED=6,则EC=12,

根据勾股定理可得．

∴EO=DO=CO=．

由(2)可得,

在Rt△AEO中,可得,即,

∴,

解得AE=,则AC=,AO=．

连接ON,延长BO交MN于点I,根据垂径定理可知OI⊥MN,

∵AN//CE,∴∠CAN=∠ACE．

在Rt△AIO中,可得,即,

解得OI=5,则AI=10,

在Rt△OIN中, ,即,

解得IN=．

∴AN=AI+IN=10+．

【点睛】本题考查圆的综合知识及相似全等,关键在于根据条件结合知识点,特别是辅助线的做法要迎合题目给出的条件．

知识点：相似三角形

题型：综合题