已知椭圆C:()的离心率为,短轴长为4.(1)求椭圆方程;(2)过作弦且弦被P平分,求此弦所在的直线方程及弦长...
问题详情:
已知椭圆C:()的离心率为,短轴长为4.
(1)求椭圆方程;
(2)过作弦且弦被P平分,求此弦所在的直线方程及弦长.
【回答】
(1)(2)直线方程为,弦长为
【分析】
(1)由已知信息,待定系数即可求解椭圆方程;
(2)设出交点坐标,由点差法,即可求得直线斜率,再求弦长.
【详解】
(1)由椭圆的离心率可得:,
根据短轴长可得:,,
设,,,所以,
所以椭圆方程为.
(2)设以点为中点的弦与椭圆交于,,
则,则,
分别代入椭圆的方程得,,,两式相减可得
,所以,
故以点为中点的弦所在直线方程为;
由,得,
所以,;,,
所以.
故该直线截椭圆所得弦长为.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解,以及椭圆中的中点弦问题,涉及弦长的求解,属综合中档题.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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