正项数列{an}的前n项和为Sn,满足an=2﹣1.若对任意的正整数p、q(p≠q),不等式SP+Sq>kSp...
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正项数列{an}的前n项和为Sn,满足an=2﹣1.若对任意的正整数p、q(p≠q),不等式SP+Sq>kSp+q恒成立,则实数k的取值范围为 .
【回答】
.
【考点】8H:数列递推式.
【分析】an=2﹣1,可得Sn=,n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,利用已知可得:an﹣an﹣1=2.利用等差数列的求和公式可得Sn,再利用基本不等式的*质即可得出.
【解答】解:∵an=2﹣1,∴Sn=,
∴n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣,
化为:(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,
∵∀n∈N*,an>0,
∴an﹣an﹣1=2.
n=1时,a1=S1=,解得a1=1.
∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为2.
∴Sn=n+=n2.
∴不等式SP+Sq>kSp+q化为:k<,
∵>,对任意的正整数p、q(p≠q),不等式SP+Sq>kSp+q恒成立,
∴.
则实数k的取值范围为.
故*为:.
知识点:数列
题型:填空题
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