已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两...
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已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________
【回答】
【详解】解法一:由题意可得,三角形ABC的面积为 =1,
由于直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(﹣,0),
由直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,可得b>0,
故﹣≤0,故点M在*线OA上.
设直线y=ax+b和BC的交点为N,则由可得点N的坐标为(,).
①若点M和点A重合,则点N为线段BC的中点,故N(,),
把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b,求得a=b=.
②若点M在点O和点A之间,此时b>,点N在点B和点C之间,
由题意可得三角形NMB的面积等于,
即=,即 =,可得a=>0,求得 b<,
故有<b<.
③若点M在点A的左侧,则b<,由点M的横坐标﹣<﹣1,求得b>a.
设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由 求得点P的坐标为(,),
此时,由题意可得,三角形CPN的面积等于,即 •(1﹣b)•|xN﹣xP|=,
即(1﹣b)•|﹣|=,化简可得2(1﹣b)2=|a2﹣1|.
由于此时 b>a>0,0<a<1,∴2(1﹣b)2=|a2﹣1|=1﹣a2 .
两边开方可得 (1﹣b)=<1,∴1﹣b<,化简可得 b>1﹣,
故有1﹣<b<.
再把以上得到的三个b的范围取并集,可得b的取值范围应是 ,
解法二:当a=0时,直线y=ax+b(a>0)平行于AB边,
由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=,b=1﹣,趋于最小.
由于a>0,∴b>1﹣.
当a逐渐变大时,b也逐渐变大,
当b=时,直线经过点(0,),再根据直线平分△ABC的面积,故a不存在,故b<.
综上可得,1﹣<b<,
故*为:.
【点睛】本题主要考查确定直线的要素,点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用,还考察运算能力以及综合分析能力,分类讨论思想,属于难题.
知识点:直线与方程
题型:填空题
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