阅读下列材料:已知:如图1,等边△A1A2A3内接于⊙O,点P是上的任意一点,连接PA1,PA2,PA3,可*...
问题详情:
阅读下列材料:
已知:如图1,等边△A1A2A3内接于⊙O,点P是上的任意一点,连接PA1,PA2,PA3,可*:PA1+PA2=PA3,从而得到:是定值.
(1)以下是小红的一种*方法,请在方框内将*过程补充完整;
*:如图1,作∠PA1M=60°,A1M交A2P的延长线于点M.
∵△A1A2A3是等边三角形,
∴∠A3A1A2=60°,
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1,∠A1A3P=∠A1A2P,
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1.
∴,是定值.
(2)延伸:如图2,把(1)中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”,其余条件不变,请问:还是定值吗?为什么?
(3)拓展:如图3,把(1)中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”,其余条件不变,则= (只写出结果).
【回答】
(1)*见解析;(2)是定值,理由见解析;(3)
【解析】
分析:(2)结论:是定值.在A4P上截取AH=A2P,连接HA1.*PA4=A4+PH=PA2+PA1,同法可*:PA3=PA1+PA2,推出(+1)(PA1+PA2)=PA3+PA4,可得PA1+PA2=(-1)(PA3+PA4),即可解决问题;
(3)结论:则.如图3-1中,延长PA1到H,使得A1H=PA2,连接A4H,A4A2,A4A1.由△HA4A1≌△PA4A2,可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形,推出PH=PA4,即PA1+PA2=PA4,如图3-2中,延长PA5到H,使得A5H=PA3.同法可*:△A4HP是顶角为108°的等腰三角形,推出PH=PA4,即PA5+PA3=PA4,即可解决问题;
详解:(1)如图1,作∠PA1M=60°,A1M交A2P的延长线于点M.
∵△A1A2A3是等边三角形,
∴∠A3A1A2=60°,
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1,∠A1A3P=∠A1A2P,
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2,
∵PM=PA1,
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1.
∴,是定值.
(2)结论:是定值.
理由:在A4P上截取AH=A2P,连接HA1.
∵四边形A1A2A3A4是正方形,
∴A4A1=A2A1,
∵∠A1A4H=∠A1A2P,A4H=A2P,
∴△A1A4H=△A1A2P,
∴A1H=PA1,∠A4A1H=∠A2A1P,
∴∠HA1P=∠A4A1A2=90°
∴△HA1P的等腰直角三角形,
∴PA4=HA4+PH=PA2+PA1,
同法可*:PA3=PA1+PA2,
∴(+1)(PA1+PA2)=PA3+PA4,
∴PA1+PA2=(-1)(PA3+PA4),
∴.
(3)结论:则.
理由:如图3-1中,延长PA1到H,使得A1H=PA2,连接A4H,A4A2,A4A1.
由△HA4A1≌△PA4A2,可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形,
∴PH=PA4,即PA1+PA2=PA4,
如图3-2中,延长PA5到H,使得A5H=PA3.
同法可*:△A4HP是顶角为108°的等腰三角形,
∴PH=PA4,即PA5+PA3=PA4,
∴.
点睛:本题考查圆综合题、正方形的*质、正五边形的*质、全等三角形的判定和*质等正整数,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
知识点:正多边形和圆
题型:解答题
-
下列加点词注音全对的一项是( )A.浣女(huàn) 谄媚(xiàn) 邂逅(xiè)B.惘然(wǎn...
问题详情:下列加点词注音全对的一项是( )A.浣女(huàn) 谄媚(xiàn) 邂逅(xiè)B.惘然(wǎnɡ) 纶巾(ɡuān) 铜钿(tián)C.湓浦(pǔ) 贾人(ɡǔ) 嘲哳(zāo)D.迸发(bènɡ) 谪居(zhé) 锦瑟(sì)【回答】【*】B【解析】试题分析:A.Chǎn,C.zhāo,D.s...
-
对于锌一铜一稀硫*组成的原电池装置中,当导线中有1mol电子通过时,理论上的两极变化是( )。 ①锌片...
问题详情:对于锌一铜一稀硫*组成的原电池装置中,当导线中有1mol电子通过时,理论上的两极变化是( )。 ①锌片溶解了32.5g②锌片增重32.5g③铜片上析出lgH2 ④铜片上析出1molH2 A.①和③ B.①和④ C.②和③ D.②和④【回答】A知识...
-
已知铁的一种氧化物,其中含氧元素的质量分数为30%,则这种铁的氧化物的化学式为 ( ) A.FeO ...
问题详情:已知铁的一种氧化物,其中含氧元素的质量分数为30%,则这种铁的氧化物的化学式为()A.FeO B.Fe2O3C.Fe3O4 D.无法判断【回答】B知识点:金属的化学*质题型:选择题...
-
某有机物结构简式为,下列关于该有机物的说法中不正确的是( )A.遇FeCl3溶液显紫*B.与足量的*氧化*溶...
问题详情:某有机物结构简式为,下列关于该有机物的说法中不正确的是()A.遇FeCl3溶液显紫*B.与足量的*氧化*溶液在一定条件下反应,最多消耗NaOH3molC.能发生缩聚反应和加聚反应D.1mol该有机物与溴发生加成反应,最多消耗1molBr2【回答】解析A项,有机物分子中存在*羟基,所以...
相关文章
- 如图:点P为∠AOB内一点,分别作出P点关于OA、OB的对称点P1,P2,连接P1P2交OA于M,交OB于N,...
- 已知:如图,点P为∠AOB内一点,分别作出P点关于OA、OB的对称点P1,P2,连接P1P2交OA于M,交OB...
- 如图,已知AB是⊙O的直径,PC切⊙O于点P,过A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D,连接PA、PB.(1)求*...
- 如图1,已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA,点A为切点,连接PO并延长交⊙O于点B,连接AO并延长交⊙O于点C,...
- 如图所示,∠AOB=41°,点P为∠AOB内的一点,分别作出P点关于OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2...
- 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点P是底边BC上一点且满足PA=PB,⊙O是△PAB的外接圆,过点P作P...
- 已知,点P是等边三角形△ABC中一点,线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,连接PQ、QC.(1)求*:PB=...
- 如图,已知PC平分∠MPN,点O是PC上任意一点,PM与⊙O相切于点E,交PC于A、B两点.(1)求*:PN与...
- 如图,已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,点P1与点P关于OA对称,点P2与点P关于OB对称,连接P1P...
- 已知:P是⊙O外的一点,OP=4,OP交⊙O于点A,且A是OP的中点,Q是⊙O上任意一点.(Ⅰ)如图①,若PQ...