如图,已知等边△ABC的边长是2,以BC边上的高AB1为边作等边三角形,得到第一个等边△AB1C1;再以等边△...
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如图,已知等边△ABC的边长是2,以BC边上的高AB1为边作等边三角形,得到第一个等边△AB1C1;再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形,得到第二个等边△AB2C2;再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形,得到第三个等边△AB3C3;…,记△B1CB2的面积为S1,△B2C1B3的面积为S2,△B3C2B4的面积为S3,如此下去,则Sn=_____.
【回答】
【解析】
由AB1是边长为2的等边三角形ABC的高,利用三线合一得到B1为BC的中点,求出CB1的长,继而可得△B1CB2是有一个角为30度的直角三角形,同理可知△B2C1B3、△B3C2B4、△B4C3B5、…、都是有一个角为30度的直角三角形,而且后一个的斜边是前一个30度角所邻的直角边,由此即可求得Sn.
【详解】∵等边三角形ABC的边长为2,AB1⊥BC,
∴∠C=60°,CB1=BB1=1,
又∵∠B1B2C=90°,∴∠CB1B2=30°,
∴CB2=,B1B2=,∴S1=,
同理,Rt△B2C1B3中,B2C1=B1B2=,∴C1B3=×=,B2B3=,
∴S2=,
同理,S3=
…,
∴Sn=,
故*为.
【点睛】本题考查了规律题,涉及等边三角形的*质,含30度角的直角三角形的*质、勾股定理等,有一定难度,熟练掌握并灵活运用等边三角形的*质、勾股定理等解本题的关键.
知识点:勾股定理
题型:填空题
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