某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的*质时,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB...
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某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的*质时,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想
如图①,当点D在线段BC上时.
①BC与CF的位置关系为:____________;
②BC,CD,CF之间的数量关系为:____________;(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图②,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予*;若不成立,请你写出正确结论再给予*;
(3)拓展延伸
如图③,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2,CD=BC,请求出GE的长.
【回答】
解:①垂直;
② BC = CF+ CD
(2)CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.
∵正方形ADEF中,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB与△FAC中,,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠ABD=∠ACF,
∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°,
∴CF⊥BC.
∵CD=DB+BC,DB=CF,
∴CD=CF+BC.
(3)解:过A作AH⊥BC于H,过E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC=AB=4,AH=BC=2,
∴CD=BC=1,CH=BC=2,
∴DH=3,
由(2)*得BC⊥CF,CF=BD=5,
∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,
∴四边形CMEN是矩形,
∴NE=CM,EM=CN,
又∵∠ADH+∠EDM=90° ,∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠ADH=∠DEM.
在△ADH与△DEM中,,
∴△ADH≌△DEM,
∴DH=EM=CN=3.
又∵△BCG是等腰直角三角形,
∴,
∴EG==.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题
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