设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f′(x),若f(x)+f′(x)>1,f(0)=2017,则不等式e...
问题详情:
设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f′(x),若f(x)+f′(x)>1,f(0)=2017,则不等式exf(x)>ex+2016(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A.(﹣∞,0)∪(0,+∞) B.(0,+∞) C. D.(﹣∞,0)∪
【回答】
B【考点】6A:函数的单调*与导数的关系.
【分析】构造函数g(x)=exf(x)﹣ex,则可判断g′(x)>0,故g(x)为增函数,结合g(0)=2016即可得出*.
【解答】解:设g(x)=exf(x)﹣ex,则g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex=ex[f(x)+f′(x)﹣1],
∵f(x)+f′(x)>1,ex>0,
∴g′(x)=ex[f(x)+f′(x)﹣1]>0,
∴g(x)是R上的增函数,
又g(0)=f(0)﹣1=2016,
∴g(x)>2016的解集为(0,+∞),
即不等式exf(x)>ex+2016的解集为(0,+∞).
故选B.
知识点:导数及其应用
题型:选择题
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