椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2...
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椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点为F1 、F2 ,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2 ,|PF1|=,|PF2|=. (Ⅰ)求椭圆C的方程 ; (Ⅱ)若直线l过点M(-2,1),交椭圆C于A,B两点,且M恰是A,B中点,求直线l的方程.
【回答】
解:(Ⅰ)因为点P在椭圆C上,所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3. 在Rt△PF1F2中,|F1F2|=,故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2-c2=4, 所以椭圆C的方程为=1. (Ⅱ)设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).若直线l斜率不存在,显然不合题意. 从而可设过点(-2,1)的直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为A,B关于点M对称,所以,解得k=, 所以直线l的方程为,即8x-9y+25=0. 经检验,△>0,所以所求直线方程符合题意.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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