已知椭圆C:=1(a>b>0)过点P(2,1),其左右焦点分别为F1,F2,三角形PF1F2的面积为.(Ⅰ)求...
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已知椭圆C:=1(a>b>0)过点P(2,1),其左右焦点分别为F1,F2,三角形PF1F2的面积为. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)已知A,B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线,若∠APB的角平分线总垂直于x轴,求*:直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形
【回答】
解:(Ⅰ)由题意可得,解得a2=6,b2=3, 故椭圆C的方程为+=1, *(Ⅱ):设直线AP的斜率为k,则直线BP的斜率为-k, 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA的方程为y+1=k(x-2),即y=kx+1-2k 联立,得(1+2k2)x2+4(k-2k2)x+8k2-8k-4=0. ∴2x1=,即x1= 设直线PB的方程为y+1=-k(x-2),同理求得x2= ∴x2-x1=- ∴y1-y2=k(x1+x2)+2-4k=, ∴直线AB的斜率kAB==1, 易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0, ∴直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形 【解析】
(Ⅰ)由题意可得,解得a2=6,b2=3,则椭圆方程可求; (Ⅱ)设直线PA的方程为y+1=k(x-2),联立直线方程和椭圆方程,求得A的横坐标,同理求得B的横坐标,进一步求得A、B的纵坐标的差,代入斜率公式得*. 本题考查椭圆标准方程的求法,考查了直线与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,属中档题.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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