如图,AB是以O为圆心的半圆的直径,半径CO⊥AO,点M是上的动点,且不与点A、C、B重合,直线AM交直线OC...
问题详情:
如图,AB是以O为圆心的半圆的直径,半径CO⊥AO,点M是上的动点,且不与点A、C、B重合,直线AM交直线OC于点D,连结OM与CM.
(1)若半圆的半径为10.
①当∠AOM=60°时,求DM的长;
②当AM=12时,求DM的长.
(2)探究:在点M运动的过程中,∠DMC的大小是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【回答】
【分析】(1)①当∠AOM=60°时,所以△AMO是等边三角形,从而可知∠MOD=30°,∠D=30°,所以DM=OM=10;
②过点M作MF⊥OA于点F,设AF=x,OF=10﹣x,利用勾股定理即可求出x的值.易*△AMF∽△ADO,从而可知AD的长度,进而可求出MD的长度.
(2)根据点M的位置分类讨论,然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的*质即可求出*.
【解答】解:(1)①当∠AOM=60°时,
∵OM=OA,
∴△AMO是等边三角形,
∴∠A=∠MOA=60°,
∴∠MOD=30°,∠D=30°,
∴DM=OM=10
②过点M作MF⊥OA于点F,
设AF=x,
∴OF=10﹣x,
∵AM=12,OA=OM=10,
由勾股定理可知:122﹣x2=102﹣(10﹣x)2
∴x=,
∴AF=,
∵MF∥OD,
∴△AMF∽△ADO,
∴,
∴,
∴AD=
∴MD=AD﹣AM=
(2)当点M位于之间时,
连接BC,
∵C是的重点,
∴∠B=45°,
∵四边形AMCB是圆内接四边形,
此时∠CMD=∠B=45°,
当点M位于之间时,
连接BC,
由圆周角定理可知:∠CMD=∠B=45°
综上所述,∠CMD=45°
【点评】本题考查圆的综合问题,涉及圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定与*质,含30度角的直角三角形*质,解方程等知识,综合程度较高,需要学生灵活运用所学知识.
知识点:各地中考
题型:解答题
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