(2012•台州)定义:P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离....
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(2012•台州)定义:P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离.已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.(1)根据上述定义,当m=2,n=2时,如图1,线段BC与线段OA的距离是试题*
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分析:(1)理解新定义,按照新定义的要求求出两个距离值;(2)如答图2所示,当点B落在⊙A上时,m的取值范围为2≤m≤6:当4≤m≤6,显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径,即d=2;当2≤m<4时,作BN⊥x轴于点N,线段BC与线段OA的距离等于BN长;(3)①在准确理解点M运动轨迹的基础上,画出草图,如答图3所示.由图形可以直观求出封闭图形的周长;②如答图4所示,符合题意的相似三角形有三个,需要进行分类讨论,分别利用点的坐标关系以及相似三角形比例线段关系求出m的值.
解答:解:(1)当m=2,n=2时,如题图1,线段BC与线段OA的距离(即线段AB长)=2;当m=5,n=2时,B点坐标为(5,2),线段BC与线段OA的距离,即为线段AB的长,如答图1,过点B作BN⊥x轴于点N,则AN=1,BN=2,在Rt△ABN中,由勾股定理得:AB=
AN2+BN2 |
12+22 |
5 |
22-(4-m)2 |
4-16+8m-m2 |
-m2+8m-12 |
26 |
5 |
26 |
5 |
26 |
5 |
点评:本题是以圆为基础的运动型压轴题,综合考查了圆的相关*质、相似三角形、点的坐标、勾股定理、解方程等重要知识点,难度较大.本题涉及动线与动点,运动过程比较复杂,准确理解运动过程是解决本题的关键.第(3)①问中,关键是画出点M运动轨迹的图形,结合图形求解一目了然;第(3)②问中,注意分类讨论思想的运用,避免漏解.
【回答】
分析:(1)理解新定义,按照新定义的要求求出两个距离值;(2)如答图2所示,当点B落在⊙A上时,m的取值范围为2≤m≤6:当4≤m≤6,显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径,即d=2;当2≤m<4时,作BN⊥x轴于点N,线段BC与线段OA的距离等于BN长;(3)①在准确理解点M运动轨迹的基础上,画出草图,如答图3所示.由图形可以直观求出封闭图形的周长;②如答图4所示,符合题意的相似三角形有三个,需要进行分类讨论,分别利用点的坐标关系以及相似三角形比例线段关系求出m的值.
解答:解:(1)当m=2,n=2时,如题图1,线段BC与线段OA的距离(即线段AB长)=2;当m=5,n=2时,B点坐标为(5,2),线段BC与线段OA的距离,即为线段AB的长,如答图1,过点B作BN⊥x轴于点N,则AN=1,BN=2,在Rt△ABN中,由勾股定理得:AB=
AN2+BN2 |
12+22 |
5 |
22-(4-m)2 |
4-16+8m-m2 |
-m2+8m-12 |
26 |
5 |
26 |
5 |
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点评:本题是以圆为基础的运动型压轴题,综合考查了圆的相关*质、相似三角形、点的坐标、勾股定理、解方程等重要知识点,难度较大.本题涉及动线与动点,运动过程比较复杂,准确理解运动过程是解决本题的关键.第(3)①问中,关键是画出点M运动轨迹的图形,结合图形求解一目了然;第(3)②问中,注意分类讨论思想的运用,避免漏解.
知识点:
题型:
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