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(2019·四川中考模拟)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=(x>0,k是常数)的图象交于A(a,2),B(4,b)两点.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)点C是第一象限内一点,连接AC,BC,使AC∥x轴,BC∥y轴,连接OA,OB.若点P在y轴上,且△OPA的面积与四边形OACB的面积相等,求点P的坐标.
【回答】
(1) 反比例函数的表达式为y=(x>0);(2) 点P的坐标为(0,4)或(0,﹣4)
【解析】
(1)∵点A(a,2),B(4,b)在一次函数y=﹣x+3的图象上,
∴﹣a+3=2,b=﹣×4+3,
∴a=2,b=1,
∴点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(4,1),
又∵点A(2,2)在反比例函数y=的图象上,
∴k=2×2=4,
∴反比例函数的表达式为y=(x>0);
(2)延长CA交y轴于点E,延长CB交x轴于点F,
∵AC∥x轴,BC∥y轴,
则有CE⊥y轴,CF⊥x轴,点C的坐标为(4,2)
∴四边形OECF为矩形,且CE=4,CF=2,
∴S四边形OACB=S矩形OECF﹣S△OAE﹣S△OBF
=2×4﹣×2×2﹣×4×1
=4,
设点P的坐标为(0,m),
则S△OAP=×2•|m|=4,
∴m=±4,
∴点P的坐标为(0,4)或(0,﹣4).
【点睛】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,涉及的知识有:坐标与图形*质,直线与坐标轴的交点,待定系数法求函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
知识点:反比例函数
题型:解答题
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