函数且的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为
问题详情:
函数且的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
【回答】
3+2.考点:
基本不等式在最值问题中的应用;对数函数的单调*与特殊点..
专题:
计算题;不等式的解法及应用.
分析:
根据对数函数的*质先求出A的坐标,代入直线方程可得m、n的关系,再利用1的代换结合均值不等式求解即可.
解答:
解:∵x=﹣2时,y=loga1﹣1=﹣1,
∴函数y=loga(x+3)﹣1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(﹣2,﹣1)即A(﹣2,﹣1),
∵点A在直线mx+ny+1=0上,
∴﹣2m﹣n+1=0,即2m+n=1,
∵mn>0,
∴m>0,n>0,+=(+)(2m+n)=3++≥3+2,
当且仅当=时取等号,+的最小值为3+2.
故*为:
本题考查了对数函数的*质和均值不等式等知识点,运用了整体代换思想,是高考考查的重点内容.
知识点:基本初等函数I
题型:填空题
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