.图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，点M为AC的...

问题详情：

.图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，点M为AC的中点，动点E从点C出发以每秒1个单位的速度运动到点B停止，连接EM并延长交AD于点F，设点E的运动时间为t秒．

（1）求四边形ABCD的面积；

（2）当∠EMC=90°时，判断四边形DCEF的形状，并说明理由；

（3）连接BM，点E在运动过程中是否能使△BEM为等腰三角形？如果能，求出t；如果不能，请说明理由．

【回答】

 解：（1）∵∠DAC=30°，∠ACD=90°，AD=8，

∴CD=4，AC=4．

又∵四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABCD的面积为4×4=16．

（2）如图1，当∠EMC=90°时，四边形DCEF是菱形．

∵∠EMC=∠ACD=90°，

∴DC∥EF．

∵BC∥AD，

∴四边形DCEF是平行四边形，∠BCA=∠DAC

．由（1）可知：CD=4，AC=4．

∵点M为AC的中点，

∴CM=2．

在Rt△EMC中，∠CME=90°，∠BCA=30°．

∴CE=2ME，可得ME2+（2）2=（2ME）2，

解得：ME=2．

∴CE=2ME=4．

∴CE=DC．

又∵四边形DCEF是平行四边形，

∴四边形DCEF是菱形．

（3）点E在运动过程中能使△BEM为等腰三角形．

理由：如图2，过点B作BG⊥AD与点G，过点E作EH⊥AD于点H，连接DM．

∵DC∥AB，∠ACD=90°，

∴∠CAB=90°．

∴∠BAG=180°﹣30°﹣90°=60°．

∴∠ABG=30°．

∴AG==2，BG=2．

∵点E的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t秒，

∴CE=t，BE=8﹣t．

在△CEM和△AFM中，

∴△CEM≌△AFM．

∴ME=MF，CE=AF=t．

∴HF=HG﹣AF﹣AG=BE﹣AF﹣AG=8﹣t﹣2﹣t=6﹣2t．

∵EH=BG=2，

∴在Rt△EHF中，ME===．

∵M为平行四边形ABCD对角线AC的中点，

∴D，M，B共线，且DM=BM．

∵在Rt△DBG中，DG=AD+AG=10，BG=2，

∴BM==2．

要使△BEM为等腰三角形，应分以下三种情况：

当EB=EM时，有，

解得：t=5.2．

当EB=BM时，有8﹣t=2，

解得：t=8﹣2．

当EM=BM时，由题意可知点E与点B重合，此时点B、E、M不构成三角形．

综上所述，当t=5.2或t=8﹣2时，△BEM为等腰三角形．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题