如图,在直三棱柱中ABC﹣A1B1C1中,二面角A﹣A1B﹣C是直二面角,AB=BC═2,点M是棱CC1的中点...
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如图,在直三棱柱中ABC﹣A1B1C1中,二面角A﹣A1B﹣C是直二面角,AB=BC═2,点M是棱CC1的中点,三棱锥M﹣BCA1的体积为1.
(I )*:BC丄平面ABA1
(II)求平面ABC与平面BCA1所成角的余弦值.
【回答】
(Ⅰ)*:过A在平面ABA1内作AH⊥A1B,垂足为H,
∵二面角A﹣A1B﹣C是直二面角,且二面角A﹣A1B﹣C的棱为A1B.
∴AH丄平面CBA1,∴直三棱柱中ABC﹣A1B1C1中有BC⊥AA1,且AH∩AA1=A,
∴BC丄平面ABA1 (5分)
(Ⅱ)解,∵棱锥M﹣BCA1的体积为1,由(1)得AB⊥面BCM,
∴VA1﹣BCM=,解得CM=,即CC1=3,
以B为原点,如图建立空间直角坐标系
则 M(2,O,),C(2,0,0),A1(0,2,3),
,
设平面BCA1的法向量为,
由,取.
平面ABC的法向量为BB1=(0,0,3)故所求二面角的余弦值为
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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