如图在正方体AC1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,,．  (1)求*：D、B、F、E四点共面；  (...

问题详情：

如图在正方体AC1中,E、F分别为D1CB1C1的中点,,．

   (1)求*：D、B、F、E四点共面；

   (2)确定出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.

   (3)求异面直线A1C1和BF所成角的余弦值．

【回答】

解：（1）*：连接，易有平行且等于，则四边形是平行四边形,

则有,又E、F分别为D1CB1C1的中点,

 则，即有,

故D，B，F，E共面; 

（2）在正方体AC1中，连接PQ，  平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ,则 , 又A1C∩平面BDEF=R，  ∴R∈A1C，  ∴R∈平面A1C1CA，  R∈平面BDEF,  ∴R是A1C与PQ的交点,如图;

（3）取A1B1的中点M，连BM、FM，因为FM∥A1C1，所以∠MFB为两异面直线所成的角,

设正方体棱长为a，则BM=BF=，，

所以cos∠MFB=.

故异面直线A1C1和BF所成角的余弦值为

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题