设x,y∈R,求*|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
问题详情:
设x,y∈R,求*|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【回答】
* ①充分*:如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况,当xy=0时,不妨设x=0,
则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,∴等式成立.
当xy>0时,即x>0,y>0,或x<0,y<0,
又当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,
∴等式成立.
当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y,∴等式成立.
总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.
②必要*:若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,
则|x+y|2=(|x|+|y|)2,
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,
∴|xy|=xy,∴xy≥0.
综上可知,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.
知识点:常用逻辑用语
题型:解答题
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