(2019·河南郑州实验外国语中学中考模拟)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E为AD中点,点P为线...
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(2019·河南郑州实验外国语中学中考模拟)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E为AD中点,点P为线段AB上一个动点,连接EP,将△APE沿PE折叠得到△FPE,连接CE,CF,当△ECF为直角三角形时,AP的长为______.
【回答】
1或.
【解析】
分两种情况进行讨论:①如图所示,当∠CFE=90°时,△ECF是直角三角形.
由折叠可得:∠PFE=∠A=90°,AE=FE=DE,
∴∠CFP=180°,
即点P,F,C在一条直线上.
在Rt△CDE和Rt△CFE中,,
∴Rt△CDE≌Rt△CFE(HL),
∴CF=CD=4,设AP=FP=x,则BP=4﹣x,CP=x+4.
在Rt△BCP中,BP2+BC2=PC2,即(4﹣x)2+62=(x+4)2,
解得:x,即AP;
②如图所示,当∠CEF=90°时,△ECF是直角三角形.
过F作FH⊥AB于H,作FQ⊥AD于Q,则∠FQE=∠D=90°.
又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED,
∴∠FEQ=∠ECD,
∴△FEQ∽△ECD,
∴,即,
解得:FQ,QE,
∴AQ=HF,AH,
设AP=FP=x,则HPx.
∵Rt△PFH中,HP2+HF2=PF2,
即(x)2+()2=x2,解得:x=1,即AP=1.
综上所述:AP的长为1或.
【点睛】
本题考查了折叠问题,矩形的*质,全等三角形的判定与*质,相似三角形的判定与*质以及勾股定理.解题时注意:折叠前后两图形全等,即对应线段相等;对应角相等.本题有两种情况,需要分类讨论,避免漏解.
知识点:相似三角形
题型:填空题
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