设是首项为,公差为d的等差数列,是首项为,公比为q的等比数列.(1)设,若对均成立,求d的取值范围;(2)若,...
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设是首项为,公差为d的等差数列,是首项为,公比为q的等比数列.
(1)设,若对均成立,求d的取值范围;
(2)若,*:存在,使得对均成立,并求的取值范围(用表示).
【回答】
(1)d的取值范围为.
(2)d的取值范围为,*见解析.
【解析】
分析:(1)根据题意结合并分别令n=1,2,3,4列出不等式组,即可解得公差d的取值范围;(2)先根据绝对值定义将不等式转化为,根据条件易得左边不等式恒成立,再利用数列单调*确定右边单调递增,转化为最小值问题,即得公差d的取值范围.
详解:解:(1)由条件知:.
因为对n=1,2,3,4均成立,
即对n=1,2,3,4均成立,
即11,1d3,32d5,73d9,得.
因此,d的取值范围为.
(2)由条件知:.
若存在d,使得(n=2,3,···,m+1)成立,
即,
即当时,d满足.
因为,则,
从而,,对均成立.
因此,取d=0时,对均成立.
下面讨论数列的最大值和数列的最小值().
①当时,,
当时,有,从而.
因此,当时,数列单调递增,
故数列的最大值为.
②设,当x>0时,,
所以单调递减,从而<f(0)=1.
当时,,
因此,当时,数列单调递减,
故数列的最小值为.
因此,d的取值范围为.
点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法,一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个区间上具体的函数,通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法,根据参数取值情况分类讨论,三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,通过两个函数图像确定条件.
知识点:数列
题型:解答题
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