如图,AC是矩形ABCD的对角线,⊙O是△ABC的内切圆,现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,使点D与点O重...
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如图,AC是矩形ABCD的对角线,⊙O是△ABC的内切圆,现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,使点D与点O重合,折痕为FG,点F,G分别在AD,BC上,连结OG,DG,若OG⊥DG,且⊙O的半径长为1,则BC+AB的值 .
【回答】
2+4 .
【考点】三角形的内切圆与内心;矩形的*质;翻折变换(折叠问题).
【分析】设圆0与BC的切点为M,连接OM,由切线的*质可知OM⊥BC,然后*△OMG≌△GCD,得到OM=GC=1,CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2.设AB=a,BC=a+2,AC=2a,从而可求得∠ACB=30°,从而得到,故此可求得AB=,则BC=+3.
【解答】解:如图所示:设圆0与BC的切点为M,连接OM.
∵BC是圆O的切线,M为切点,
∴OM⊥BC.
∴∠OMG=∠GCD=90°.
由翻折的*质可知:OG=DG.
∵OG⊥GD,
∴∠OGM+∠DGC=90°.
又∵∠MOG+∠OGM=90°,
∴∠MOG=∠DGC.
在△OMG和△GCD中,,
∴△OMG≌△GCD.
∴OM=GC=1.
CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2.
∵AB=CD,
∴BC﹣AB=2.
设AB=a,则BC=a+2.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∴AC=AB+BC﹣2r.
∴AC=2a.
∴.
∴∠ACB=30°.
∴,即.
解得:a=.
∴AB=,BC=AB+2=.
所有AB+BC=4.
故*为:4.
【点评】本题主要考查的是切线的*质、翻折的*质、全等三角形的*质和判定、特殊锐角三角函数值,求得∠ACB=30°是解题得关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:填空题
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