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定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
(1)如图1,损矩形ABCD,∠ABC=∠ADC=90°,则该损矩形的直径是线段 .
(2)在线段AC上确定一点P,使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上),请作出这个圆,并说明你的理由.友情提醒:“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹.
(3)如图2,△ABC中,∠ABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF的中心,连接BD,当BD平分∠ABC时,判断四边形ACEF为何种特殊的四边形?请说明理由.若此时AB=3,BD=,求BC的长.
【回答】
【解答】解:(1)只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.因此AC是该损矩形的直径;
(2)作图如图:
∵点P为AC中点,
∴PA=PC=AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴BP=DP=AC,
∴PA=PB=PC=PD,
∴点A、B、C、D在以P为圆心, AC为半径的同一个圆上;
(3)∵菱形ACEF,
∴∠ADC=90°,AE=2AD,CF=2CD,
∴四边形ABCD为损矩形,
∴由(2)可知,点A、B、C、D在同一个圆上.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=45°,
∴,
∴AD=CD,
∴四边形ACEF为正方形.
∵BD平分∠ABC,BD=,
∴点D到AB、BC的距离h为4,
∴S△ABD=AB×h=2AB=6,
S△ABC=AB×BC=BC,
S△BDC=BC×h=2BC,S△ACD=S正方形ACEF=AC2=(BC2+9),
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABD+S△BCD
∴BC+(BC2+9)=6+2BC
∴BC=5或BC=﹣3(舍去),
∴BC=5.
知识点:圆的有关*质
题型:解答题
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