我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等...
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我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
(1)概念理解:如图1,在△ABC中,AC=6,BC=3,∠ACB=30°,试判断△ABC是否是“等高底”三角形请说明理由。
(2)问题探究:如图2,△ABC是“等高底”三角形,BC是“等底”,作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC,连结AA'交直线BC于点D.若点B是△AA'C的重心,求 的值.
(3)应用拓展:如图3.已知l1∥l2 , l1与l2之间的距离为2.“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上,点A在直线l2上,有一边的长是BC的 倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C,AC所在直线交l2于点D.求CD的值。
【回答】
(1)如图1,过点A作AD⊥直线CB于点D, ∴△ADC为直角三角形,∠ADC=90°, ∵∠ACB=30°,AC=6, ∴AD= AC=3 ∴AD=BC=3. 即△ABC是“等高底”三角形。 (2)如图2, ∵△ABC是“等高底”三角形,BC是“等底”, ∴AD=BC. ∵△A'BC与△ABC关于直线BC对称, ∴∠ADC=90° ∵点B是△AA'C的重心, ∴BC=2BD 设BD=x,则AD=BC=2x, ∴CD= x ∴由勾股定理得AC ∴ (3)①当AB= BC时, Ⅰ.如图3.作AE⊥l1于点E,DF⊥AC于点F ∴“等高底”△ABC的“等底”为BC,l1∥l2 , ∵l1与l2之间的距离为2,AB= BC ∴BC=AE=2,AB= , ∴BE=2,即EC=4, ∴AC= . ∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C, ∴∠DCF=45° 设DF=CF=x ∵l1∥l2 , ∴∠ACE=∠DAF, ∴ 即AF=2x AC=3x= ,可得x= , ∴CD= x= Ⅱ.如图4,此时△ABC是等腰直角三角形 ∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C, ∴△ACD是等腰直角三角形, ∴CD= AC= 。 ②当AC= BC时, Ⅰ.如图5,此时△ABC是等腰直角三角形, ∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C, ∴A'C⊥l1 , ∴CD=AB=BC=2. Ⅱ.如图6,作AE⊥l1于点E,则AE=BC, ∴AC= BC= AE, ∴∠ACE=45° ∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C时,点A'在直线l1上, ∴A'C∥l2 , 即直线A'C与l2无交点 综上,CD的值为 , ,2
【考点】含30度角的直角三角形,勾股定理,轴对称的*质,旋转的*质
【解析】【分析】(1)过点A作AD⊥直线CB于点D,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,可求出AD的长,从而可*得AD=BC,因此可*得结论。 (2)根据已知条件△ABC是“等高底”三角形,BC是“等底,可得出AD=BC,再根据△A'BC与△ABC关于直线BC对称,可得出∠ADC=90°,然后根据点B是△AA'C的重心,得出BC=2BD,利用勾股定理就可求解。 (2)分情况讨论:①当AB= BC时,Ⅰ.如图3.作AE⊥l1于点E,DF⊥AC于点F,根据已知及勾股定理求出AC的长,再根据旋转的*质,得出∠DCF=45°,然后*△ADF∽△AEC,得出对应边成比例,可求得CD的长;Ⅱ.如图4,此时△ABC是等腰直角三角形,根据旋转的*质,可得出CD的长;②当AC=BC时,Ⅰ.如图5,此时△ABC是等腰直角三角形,可得出A'C⊥l1 , 可得出CD的长;Ⅱ.如图6,作AE⊥l1于点E,则AE=BC,根据勾股定理及相似三角形的*质,可得出CD的长。即可得出*。
知识点:各地中考
题型:综合题
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