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问题详情:
我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形.请解决下列问题:
(1)已知:如图1,四边形ABCD是等对角四边形,∠A≠∠C,∠A=70°,∠B=75°,则∠C= °,∠D= °
(2)在探究等对角四边形*质时:
小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD,其中,∠ABC=∠ADC,AB=AD,此时她发现CB=CD成立,请你*该结论;
(3)图①、图②均为4×4的正方形网格,线段AB、BC的端点均在网点上.按要求在图①、图②中以AB和BC为边各画一个等对角四边形ABCD.
要求:四边形ABCD的顶点D在格点上,所画的两个四边形不全等.
(4)已知:在等对角四边形ABCD中,∠DAB=60°,∠ABC=90°,AB=5,AD=4,求对角线AC的长.
【回答】
【解答】(1)解:∵四边形ABCD是“等对角四边形”,∠A≠∠C,∠A=70°,∠B=75°,
∴∠D=∠B=75°,
∴∠C=360°﹣75°﹣75°﹣70°=140°;
(2)*:如图2,连接BD,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB,
∴∠CBD=∠CDB,
∴CB=CD;
(3)如图所示:
(4)解:分两种情况:
①当∠ADC=∠ABC=90°时,延长AD,BC相交于点E,如图3所示:
∵∠ABC=90°,∠DAB=60°,AB=5,
∴∠E=30°,
∴AE=2AB=10,
∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6,
∵∠EDC=90°,∠E=30°,
∴CD=2,
∴AC===2;
②当∠BCD=∠DAB=60°时,
过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,如图4所示:
则∠AMD=90°,四边形BNDM是矩形,
∵∠DAB=60°,
∴∠ADM=30°,
∴AM=AD=2,
∴DM=2,
∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3,
∵四边形BNDM是矩形,
∴DN=BM=3,BN=DM=2,
∵∠BCD=60°,
∴CN=,
∴BC=CN+BN=3,
∴AC==2.
综上所述:AC的长为2或2.
故*为:140,75.
知识点:勾股定理
题型:综合题
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