如图,一次函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A,B两点,点P在以C(﹣2,0)为圆心,1为半径的...
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如图,一次函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A,B两点,点P在以C(﹣2,0)为圆心,1为半径的⊙C上,Q是AP的中点,已知OQ长的最大值为,则k的值为( )
A. B. C. D.
【回答】
C
【解析】
如图,连接BP,由反比例函数的对称*质以及三角形中位线定理可得OQ=BP,再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值,由题意可知当BP过圆心C时,BP最长,过B作BD⊥x轴于D,继而根据正比例函数的*质以及勾股定理可求得点B坐标,再根据点B在反比例函数y=(k>0)的图象上,利用待定系数法即可求出k的值.
【详解】
如图,连接BP,
由对称*得:OA=OB,
∵Q是AP的中点,
∴OQ=BP,
∵OQ长的最大值为,
∴BP长的最大值为×2=3,
如图,当BP过圆心C时,BP最长,过B作BD⊥x轴于D,
∵CP=1,
∴BC=2,
∵B在直线y=2x上,
设B(t,2t),则CD=t﹣(﹣2)=t+2,BD=﹣2t,
在Rt△BCD中,由勾股定理得: BC2=CD2+BD2,
∴22=(t+2)2+(﹣2t)2,
t=0(舍)或t=﹣,
∴B(﹣,﹣),
∵点B在反比例函数y=(k>0)的图象上,
∴k=﹣×(-)=,
故选C.
【点睛】
本题考查的是代数与几何综合题,涉及了反比例函数图象上点的坐标特征,中位线定理,圆的基本*质等,综合*较强,有一定的难度,正确添加辅助线,确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.
知识点:反比例函数单元测试
题型:选择题
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