如图,的外接圆的半径为,所在的平面,,,,且,.(1)求*:平面平面.(2)试问线段上是否存在点,使得直线与...
问题详情:
如图,的外接圆的半径为,所在的平面,,,,且,.
(1)求*:平面平面.
(2)试问线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,确定点的位置,若不存在,请说明理由.
【回答】
【*】(1)*详见解析;(2)存在,且.
【解析】
试题分析:(1)由已知中CD⊥⊙O所在的平面,BE∥CD,易得BE⊥平面ABC,则BE⊥AB,由BE=1,,易得AB是⊙O的直径,则AC⊥BC由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC,再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE;(2)方法一:过点M作MN⊥CD于N,连接AN,作MF⊥CB于F,连接AF,可得∠MAN为MA与平面ACD所成的角,设MN=x,则由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为,我们可以构造关于x的方程,解方程即可求出x值,进而得到点M的位置.方法二:建立如图所示空间直角坐标系C-xyz,求出平面ABC的法向量和直线AM的方向向量(含参数λ),由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为,根据向量夹角公式,我们可以构造关于λ的方程,解方程即可得到λ值,进而得到点M的位置.
试题解析:(1)∵CD ⊥平面ABC,BE//CD
∴ BE⊥平面ABC,∴BE⊥AB
∵BE=1, ∴ ,
从而
∵⊙的半径为,∴AB是直径,
∴AC⊥BC
又∵CD ⊥平面ABC,∴CD⊥BC,故BC⊥平面ACD
平面BCDE,∴平面ADC平面BCDE
(2)方法1:
假设点M存在,过点M作MN⊥CD于N,连结AN,作MF⊥CB于F,连结AF
∵平面ADC平面BCDE,
∴MN⊥平面ACD,∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角
设MN=x,计算易得,DN=,MF=
故
解得:(舍去) ,11分
故,从而满足条件的点存在,且
方法2:建立如图所示空间直角坐标系C—xyz,
则:A(4,0,0),B(0,2,0),D(0,0,4),E(0,2,1),O(0,0,0),则
易知平面ABC的法向量为,假设M点存在,设,则,再设,
即,从而…10分
设直线BM与平面ABD所成的角为,则:
解得,其中应舍去,而故满足条件的点M存在,且点M的坐标为
考点:1、面面垂直的判定;2、直线和平面所成的角.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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