一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.(1)若船在静水中的速度为v2＝5m/s，欲使船在最...

问题详情：

一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.

(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

(3)若船在静水中的速度为v2＝1.5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

【回答】

(1)船头垂直于河岸　36 s；90m 

(2)船头与上游河岸成60°角；24s；180 m

(3)船头与上游河岸成53°角；150 s；300 m

【详解】

将船实际的速度(合速度)分解为垂直于河岸方向和平行于河岸方向的两个分速度，垂直于河岸的分速度影响渡河的时间，而平行于河岸的分速度只影响船在平行于河岸方向的位移.

(1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应垂直于河岸方向，如图*所示，合速度为倾斜方向，垂直于河岸的分速度为v2＝5 m/s.

v合＝

x＝v合t＝90m.

(2)若v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，合速度应沿垂直于河岸方向，船头应朝图乙中的v2方向.垂直于河岸过河则要求v∥＝0，有v2sin θ＝v1，得θ＝30°.所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短.

x＝d＝180 m

(3)若v2＝1.5 m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝ .欲使航程最短，需α最大，如图*所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方向，欲使v合与河岸下游方向的夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2.

由sin α＝，得α＝37°

所以船头应朝与上游河岸成53°角方向.

v合＝v1cos α＝2 m/s

x＝v合t＝300 m.

【点睛】

解决本题的关键知道合运动与分运动具有等时*，当静水速与河岸垂直，渡河时间最短；当合速度与河岸垂直，渡河航程最短．小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时*、**，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，使用平行四边形法则求合速度．

知识点：运动的合成与分解

题型：解答题