如图,在△ABC中,∠A=60°,E是两条内角平分线的交点,F是两条外角平分线的交点,A1是∠ABC与∠ACD...

问题详情：

如图,在△ABC中,∠A=60°,E是两条内角平分线的交点,F是两条外角平分线的交点,A1是∠ABC与∠ACD平分线的交点.

(1)求∠A1EC的度数;

(2)求∠BFC的度数;

(3)探索∠A1与∠A的数量关系,并说明理由;

(4)若∠A=100°,在(3)的情况下,作∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2,以此类推,∠AnBC与∠AnCD的平分线交于点An,求∠An的度数.(直接写出结果)

【回答】

解:(1)∵E是两条内角平分线的交点,

∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,

∴∠BEC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=120°,

∴∠A1EC=180°-120°=60°.

(2)∵F是两条外角平分线的交点,

∴∠FBC=(180°-∠ABC),∠FCB=(180°-∠ACB),

∴∠BFC=180°-(180°-∠ABC+180°-∠ACB)=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A=60°.

(3)∠A1=∠A.理由如下:

∵A1是∠ABC与∠ACD平分线的交点.

∴∠ACD=2∠A1CD,∠ABC=2∠A1BD,

∵∠A1=∠A1CD-∠A1BD,∠A=∠ACD-∠ABD,

∴∠A=2∠A1CD-2∠A1BD=2(∠A1CD-∠A1BD),

∴∠A=2∠A1,即∠A1=∠A.

(4)∠An=.

知识点：与三角形有关的角

题型：解答题