如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点...

问题详情：

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．

（1）求*：四边形EDFG是正方形；

（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值

【回答】

【解答】（1）*：连接CD，如图1所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，

∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．

在△ADE和△CDF中，，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△EDF为等腰直角三角形．

∵O为EF的中点，GO=OD，

∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，

∴四边形EDFG是正方形；

（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴DE′=BC=2，AB=4，点E′为AC的中点，

∴2≤DE＜2（点E与点E′重合时取等号）．

∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．

∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．

知识点：各地中考

题型：解答题