现有一质地均匀密度为ρ0的实心圆柱体,底面积为S0、高为h0,将其中间挖去底面积为的小圆柱体,使其成为空心管,...
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现有一质地均匀密度为 ρ0的实心圆柱体,底面积为S0、高为h0,将其中间挖去底面积为的小圆柱体,使其成为空心管,如图1所示.先用硬塑料片将空心管底端管口密封(硬塑料片的体积和质量均不计),再将其底端向下竖直放在底面积为S的柱形平底容器底部,如图2所示.然后沿容器内壁缓慢注入密度为ρ的液体,在注入液体的过程中空心管始终保持竖直状态.
(1)当注入一定量的液体时,空心管对容器底的压力刚好为零,且空心管尚有部分露在液面外,求此时容器中液体的深度.
(2)去掉塑料片后,空心管仍竖直立在容器底部,管外液体可以进入管内,继续向容器中注入该液体.若使空心管对容器底的压力最小,注入液体的总质量最小是多少?
【回答】
解:(1)空心管对容器底的压力刚好为零,此时空心管处于漂浮状态,浮力等于重力,
设注入液体的深度为h1,
浮力F浮=ρgS0h1,
空心管的重力G=mg=ρ0gh0(S0﹣),
即ρgS0h1=ρ0gh0(S0﹣),
解得液体的深度h1=;
(2)若管的密度大于液体的密度,设液体深度为h2,若使空心管对容器底的压力最小,即浮力最大,此时空心管应恰好完全浸没,即液体的深度等于管的高度,h2=h0,所以液体的质量m2=ρ(S﹣)h0=ρh0(2S﹣S0);
若管的密度小于液体的密度,设液体深度为h3,若使空心管对容器底的压力最小,此时空心管处于漂浮状态,浮力等于其重力,
浮力F浮=ρgS0h3,
空心管的重力G=mg=ρ0gh0(S0﹣),
即ρgS0h3=ρ0gh0(S0﹣),
解得液体的深度h3=,
液体的质量m3=ρ(S﹣)=ρ0h0(2S﹣S0).
答:(1)此时容器中液体的深度;
(2)若管的密度大于液体的密度,注入液体的总质量最小是ρh0(2S﹣S0);
若管的密度小于液体的密度,注入液体的总质量最小是ρ0h0(2S﹣S0).
知识点:压强和浮力单元测试
题型:计算题
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