如图①,两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形,对角线均在坐标轴上,已知菱形EFGH与菱...
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如图①,两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形,对角线均在坐标轴上,已知菱形EFGH与菱形ABCD的相似比为1:2,∠BAD=120°,其中AD=4.
(1)点D坐标为 ,点E坐标为 ;
(2)固定图①中的菱形ABCD,将菱形EFCH绕O点顺时针方向旋转α度角(0°<α<90°),并延长OE交AD于P,延长OH交CD于Q,如图②所示,
①当α=30°时,求点P的坐标;
②试探究:在旋转的过程中是否存在某一角度α,使得四边形AFEP是平行四边形?若存在,请推断出α的值;若不存在,说明理由;
【回答】
(1)点D坐标为(2,0),点E坐标为(0,1).
(2)①点P的坐标是(,);
②当α=60°时,四边形AFEP是平行四边形.理由见解析
【解析】
试题分析:(1)由于∠BAD=120°,易知∠OAD=60°,通过解直角△AOD来求OD、OA的长度;然后利用相似比来求OE的长度;
(2)由(1)和相似多边形的*质知,OA=2,OD=2 ,EF=2.
①作PM⊥OA于点M,易求AM、PM的长度;
②如果四边形AFEP是平行四边形,那么首要满足的条件是AP∥FE,由于∠FEO=60°,因此∠APO必为60°,此时△AOP中,∠APO=∠OAP=60°,因此△AOP是等边三角形,已知两菱形的位似比为2:1,因此EF= AD,也就是EF=AP,由此可得出当α=60°时,AP //EF,且AP=EF,即四边形APEF是平行四边形.
试题解析:(1)如图①,∵∠BAD=120°,四边形ABCD是菱形,
∴∠OAD=∠BAD=60°.
又∵在直角△AOD中,AD=4,
∴OA=AD•cos60°=4×=2,
OD=AD•sin60°=4×=2.
又菱形EFGH与菱形ABCD的相似比为1:2,
∴OE:OA=1:2,
∴OE=1,
∴点D坐标为(2,0),点E坐标为(0,1).
故*是:(2,0),(0,1);
(2)由(1)知,OA=2,OD=2,∠OAD=60°.
∵菱形EFGH与菱形ABCD的相似比为1:2,AD=4,
∴EF=AB=AD=2.
①当α=30°时,∠APO=90°,则AP=OA=1.
如图②,作PM⊥OA于点M.则AM=AP=,PM=,
∵OM=OA-AM=,
∴点P的坐标是(,);
②当α=60°时,四边形AFEP是平行四边形.理由如下:
∵在旋转过程中,EF=2,∠FEO=60°,∠OAP=60°,当*线OE旋转角度α=60°时,得△AOP是等边三角形,此时∠APO=60°,AP=2,
∴AP=EF,
∴∠APO=∠FEO,得AP∥EF,
∴四边形AFEP是平行四边形,
∴当α=60°时,四边形AFEP是平行四边形.
考点:1、菱形的*质;2、解直角三角形;3、图形的旋转变换;4、相似多边形的*质
知识点:多边形及其内角相和
题型:解答题
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