)如图1,图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m(k<0)与y2=ax2+b(a>0)的部分图象围成的封...
问题详情:
)如图1,图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m(k<0)与y2=ax2+b(a>0)的部分图象围成的封闭图形.已知A(1,0)、B(0,1)、D(0,﹣3).
(1)直接写出这两个二次函数的表达式;
(2)判断图形ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD上),并说明理由;
(3)如图2,连接BC,CD,AD,在坐标平面内,求使得△BDC与△ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E的坐标
【回答】
【分析】(1)利用待定系数法即可得出结论;
(2)先确定出MM'=(1﹣m2)﹣(3m2﹣3)=4﹣4m2,进而建立方程2m=4﹣4m2,即可得出结论;
(3)先利用勾股定理求出AD=,同理:CD=,BC=,再分两种情况:
①如图1,当△DBC∽△DAE时,得出,进而求出DE=,即可得出E(0,﹣),
再判断出△DEF∽△DAO,得出,求出DF=,EF=,再用面积法求出E'M=,即可得出结论;
②如图2,当△DBC∽△ADE时,得出,求出AE=,
当E在直线AD左侧时,先利用勾股定理求出PA=,PO=,进而得出PE=,再判断出即可得出点E坐标,当E'在直线DA右侧时,即可得出结论.
【解答】解:(1)∵点A(1,0),B(0,1)在二次函数y1=kx2+m(k<0)的图象上,
∴,
∴,
∴二次函数解析式为y1=﹣x2+1,
∵点A(1,0),D(0,﹣3)在二次函数y2=ax2+b(a>0)的图象上,
∴,
∴,
∴二次函数y2=3x2﹣3;
(2)设M(m,﹣m2+1)为第一象限内的图形ABCD上一点,M'(m,3m2﹣3)为第四象限的图形上一点,
∴MM'=(1﹣m2)﹣(3m2﹣3)=4﹣4m2,
由抛物线的对称*知,若有内接正方形,
∴2m=4﹣4m2,
∴m=或m=(舍),
∵0<<1,
∴存在内接正方形,此时其边长为;
(3)在Rt△AOD中,OA=1,OD=3,
∴AD==,
同理:CD=,
在Rt△BOC中,OB=OC=1,
∴BC==,
①如图1,当△DBC∽△DAE时,
∵∠CDB=∠ADO,
∴在y轴上存在E,由,
∴,
∴DE=,
∵D(0,﹣3),
∴E(0,﹣),
由对称*知,在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE',
连接EE'交DA于F点,作E'M⊥OD于M,连接E'D,
∵E,E'关于DA对称,
∴DF垂直平分线EE',
∴△DEF∽△DAO,
∴,
∴,
∴DF=,EF=,
∵S△DEE'=DE•E'M=EF×DF=,
∴E'M=,
∵DE'=DE=,
在Rt△DE'M中,DM==2,
∴OM=1,
∴E'(,﹣1),
②如图2,
当△DBC∽△ADE时,有∠BDC=∠DAE,,
∴,
∴AE=,
当E在直线AD左侧时,设AE交y轴于P,作EQ⊥AC于Q,
∵∠BDC=∠DAE=∠ODA,
∴PD=PA,
设PD=n,
∴PO=3﹣n,PA=n,
在Rt△AOP中,PA2=OA2+OP2,
∴n2=(3﹣n)2+1,
∴n=,
∴PA=,PO=,
∵AE=,
∴PE=,
在AEQ中,OP∥EQ,
∴,
∴OQ=,
∵,
∴QE=2,
∴E(﹣,﹣2),
当E'在直线DA右侧时,
根据勾股定理得,AE==,
∴AE'=
∵∠DAE'=∠BDC,∠BDC=∠BDA,
∴∠BDA=∠DAE',
∴AE'∥OD,
∴E'(1,﹣),
综上,使得△BDC与△ADE相似(其中点C与E是对应顶点)的点E的坐标有4个,
即:(0,﹣)或(,﹣1)或(1,﹣)或(﹣,﹣2).
【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,勾股定理,相似三角形的判定和*质,对称*,正确作出辅助线和用分类讨论的思想是解本题的关键.
知识点:各地中考
题型:解答题
-
阅读下文,根据文中的情境,选出依序最合适填入*、乙的选项。(3分)清光四*,天空皎洁, * ,坐客无...
问题详情:阅读下文,根据文中的情境,选出依序最合适填入*、乙的选项。(3分)清光四*,天空皎洁, * ,坐客无不悄然!舍前有两株梨树,等到月升中天,清光从树间筛洒而下, 乙 ,此时尤为幽绝。直到兴阑人散,归房就寝,月光仍然逼进窗来,助我凄凉。 ...
-
2003年楚人学舟楚①人有习*舟者,其始折旋②疾徐,惟舟师之是听。于是小试洲渚之间,所向莫不如意,遂以为尽*舟...
问题详情:2003年楚人学舟楚①人有习*舟者,其始折旋②疾徐,惟舟师之是听。于是小试洲渚之间,所向莫不如意,遂以为尽*舟之术。遽谢舟师,椎③鼓径进,亟犯④大险,乃四顾胆落,坠桨失柁⑤。【注释】①楚:古国名。②折:调头。旋:转弯。③椎:用椎敲。古代作战,前进时以击鼓为号。④亟...
-
_____togiveupsmoking,hethrewawayhis_______cigarettes. ...
问题详情:_____togiveupsmoking,hethrewawayhis_______cigarettes. A.Determining;remained B.Determining;remaining C.Determined;remained D.Determined;remaining【回答】D知识点:分词题型:选择题...
-
____________的建成,结束了我国靠洋油过日子的时代,社会主义探索中,涌现出来的模范人物有石油工人__...
问题详情:____________的建成,结束了我国靠洋油过日子的时代,社会主义探索中,涌现出来的模范人物有石油工人________________。【回答】大庆油田 王进喜知识点:对社会主义道路的探索题型:填空题...
相关文章
- 若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<...
- 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图示,下列结论:(1)b<0;(2)c>0;(3)b2﹣4ac>0;(4)...
- 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法正确的个数是( )①a>0;②b>0;③c<0...
- 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,在下列代数式中(1)a+b+c>0;(2)﹣4a<b<﹣...
- 一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则下列结论①k<0;②a>0;③当x<3时,y1<y2中,正确...
- 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,点P...
- 点(x1,y1)和(x2,y2)在一次函数的图象y=kx+b上,当x1>x2时,y1<y2,那么k的取值范围是...
- .如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )A.﹣1<...
- 已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=(k>0)图象上的两点,若x1<0<x2,则有( )...
- 如图,一次函数y=k1x+5(k1<0)的图象与坐标轴交于A,B两点,与反比例函数y=(k2>0)的图象交于M...