如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别...

问题详情：

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．

(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；

(Ⅱ)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，

使PB2⊥QB2，求直线l的方程．

【回答】

 （1） 如图，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．

因△AB1B2是直角三角形，

又|AB1|＝|AB2|，

故∠B1AB2为直角，

因此|OA|＝|OB2|，得b＝.

结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，

故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.………3分

在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：＋＝1.

(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2， y2)，则y1，y2是上面方程的两根，

因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，

又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，

所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2

＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16

＝－－＋16＝－，

由PB2⊥QB2，得·＝0，

即16m2－64＝0，解得m＝±2

所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题