在①sinA=2sinB，②a+b=6，③ab=12.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形...

问题详情：

在①sinA=2sinB，②a+b=6，③ab=12.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△ABC的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，c=3，________.

【回答】

*见解析

【解析】

根据已知条件先求解出的值，若选条件①：使用正、余弦定理求解出的值，然后利用三角形面积公式求解出三角形面积；若选条件②：利用余弦定理结合已知条件求解出的值，再利用三角形面积公式求解出三角形的面积；若选条件③：先利用余弦定理分析出的取值范围，然后推出矛盾，说明三角形不存在.

【详解】

解法一：由

结合正弦定理可得：

因为sinA≠0，所以

因为所以

因为，所以

因为C∈(0，π)，所以，所以C=60°

解法二：由

结合正弦定理可得：

因为sinA≠0，所以

因为，C(0，π)，所以或者(舍去)

所以A+B=2C，所以C=60°

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，所以9=a2+b2-ab

选择条件①的解析：根据sinA=2sinB，结合正弦定理得a=2b

联立方程组解得：

所以△ABC的面积

选择条件②的解析：

联立方程组，化简得：解得

(注：没有解出a，b，则需说明△ABC存在)

所以△ABC的面积

选择条件③的解析：由9=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab得ab≤9

与ab=12矛盾，所以问题中的三角形不存在

【点睛】

本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，主要考查学生对于正、余弦定理以及三角形面积公式的运用，难度一般.

知识点：三角函数

题型：解答题