有两张完全重合的矩形纸片,将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图1),连接BD,MF,若BD...
问题详情:
有两张完全重合的矩形纸片,将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图1),连接BD,MF,若BD=16cm,∠ADB=30°.
(1)试探究线段BD 与线段MF的数量关系和位置关系,并说明理由;
(2)把△BCD 与△MEF 剪去,将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1,边AD1交FM 于点K(如图2),设旋转角为β(0°<β<90°),当△AFK 为等腰三角形时,求β的度数;
(3)若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如图3),F2M2与AD交于点P,A2M2与BD交于点N,当NP∥AB时,求平移的距离.
【回答】
【分析】(1)有两张完全重合的矩形纸片,将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图1),得BD=MF,△BAD≌△MAF,推出BD=MF,∠ADB=∠AFM=30°,进而可得∠DNM的大小.
(2)分两种情形讨论①当AK=FK时,②当AF=FK时,根据旋转的*质得出结论.
(3)求平移的距离是A2A的长度.在矩形PNA2A中,A2A=PN,只要求出PN的长度就行.用△DPN∽△DAB得出对应线段成比例,即可得到A2A的大小.
【解答】解:(1)结论:BD=MF,BD⊥MF.理由:
如图1,延长FM交BD于点N,
由题意得:△BAD≌△MAF.
∴BD=MF,∠ADB=∠AFM.
又∵∠DMN=∠AMF,
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°,
∴∠DNM=90°,
∴BD⊥MF.
(2)如图2,
①当AK=FK时,∠KAF=∠F=30°,
则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°,
即β=60°;
②当AF=FK时,∠FAK=(180°﹣∠F)=75°,
∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°,
即β=15°;
综上所述,β的度数为60°或15°;
(3)如图3,
由题意得矩形PNA2A.设A2A=x,则PN=x,
在Rt△A2M2F2中,∵F2M2=FM=16,∠F=∠ADB=30°,
∴A2M2=8,A2F2=8,
∴AF2=8﹣x.
∵∠PAF2=90°,∠PF2A=30°,
∴AP=AF2•tan30°=8﹣x,
∴PD=AD﹣AP=8﹣8+x.
∵NP∥AB,
∴∠DNP=∠B.
∵∠D=∠D,
∴△DPN∽△DAB,
∴=,
∴=,
解得x=12﹣4,即A2A=12﹣4,
∴平移的距离是(12﹣4)cm.
【点评】本题属于四边形综合题,主要考查了旋转的*质,相似三角形的判定与*质,勾股定理的运用,等腰三角形的*质的运用运用.在利用相似三角形的*质时注意使用相等线段的代换以及注意分类思想的运用.
知识点:解直角三角形与其应用
题型:综合题
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